Casco realtà virtuale
mateureka
Gen 102012
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“La Matematica è nello stesso tempo madre e figlia dell’informatica”
(Corrado Bohm)
Il computer rappresenta oggi l’esito più vistoso e di più ampio impatto sociale e culturale dello sviluppo tecnologico e scientifico del XX secolo. Ogni branca dell’attività umana, ormai, fa uso del computer ed anche la matematica ne beneficia.
Il mutuo rapporto tra i computer e la matematica evidenzia da un lato la necessità di ripensare i fondamenti stessi della conoscenza matematica, dall’altro come gli esiti di alcune ricerche in matematica e logica abbiano fortemente influenzato gli sviluppi del computer. I calcolatori sono il punto d’arrivo di uno sviluppo matematico durato un intero secolo con tre tappe fondamentali:
- l’algebra di Boole (1854) che tratta in forma matematica le leggi che regolano il pensiero e che poi F.L.G. Frege (1848-1925) e B. Russell (1872-1970) estesero con successo all’intera logica;
- la macchina di Alan Turing (1936), in pratica il progetto teorico di un calcolatore universale moderno;
- la rete neuronale di Mc Culloch e Pitts (1943), una sorta di “cervello” in grado di eseguire le decisioni logiche più elementari.
A beneficiare dell’uso del calcolatore non è solo il settore del calcolo numerico (“number cruncher”) ma un po’ tutta la matematica. Alcune delle più interessanti applicazioni del calcolatore alla ricerca matematica sono state:
- Intelligenza Artificiale : l’analisi degli scacchi di Shannon (1950);
- Teoria del Caos: l’attrattore strano di Lorenz (1963);
- Dimostrazioni assistite: il teorema dei quattro colori di Appel e Haken (1976);
- Frattali: l’insieme di Mandelbrot (1980);
- Primo teorema dimostrato completamente dal calcolatore, senza aiuto da parte dell’uomo: la congettura di Robbins (1997).
Simulazione e visualizzazione di modelli astratti, analisi di problemi combinatori impossibili da trattare manualmente, studio di equazioni differenziali prive di schemi risolutivi noti, ecc. stanno diventando territori sempre più frequentemente esplorati dai ricercatori mediante i calcolatori tanto che l’informatica si può considerare, a buon diritto, come una delle nuove branche della matematica moderna.
Tutto questo non significa rinunciare all’uso del ragionamento e della creatività umana, ma arricchire la nostra intelligenza con strumenti sempre più flessibili e potenti, come quando si guarda il cielo attraverso un cannocchiale invece che a occhio nudo.
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Memoria Disco
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Microprocessore
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Circuiti Integrati
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Elettronica
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Schede Perforate e Valvole
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Memorizzazione Informazioni
“La nascita dell’elaboratore elettronico introduce una vera e propria rivoluzione scientifica e culturale, come il motore a vapore aveva reso possibile due secoli prima la rivoluzione industriale”
Al calcolo automatico si può attribuire una precisa data d’inizio: il 1623, anno in cui W. Schickard costruì una macchina in grado di compiere le quattro operazioni fondamentali. Seguirono la pascalina, la moltiplicatrice di Leibniz, la macchina di Muller e quella di T. de Colmar.
C. Babbage (1792-1871) ideò due macchine per il calcolo: la macchina alle differenze (1823) e la macchina analitica (1834) che presenta uno schema generale identico a quello che sarà adottato per gli elaboratori elettronici.
Una breve parentesi meccanografica con le schede perforate come primo supporto di memorizzazione e l’uso di dispositivi che si avvalgono dell’elettricità ci avvicinano al primo calcolatore programmabile (1936), la macchina Z1 a funzionamento elettromeccanico, di Konrad Zuse (1910-1995). Nello stesso anno (1936) il matematico Alan Turing (1912-1954) elabora, nella relazione On computable numbers, il concetto teorico di una macchina da calcolo universale per la soluzione di tutti i problemi matematici. Ma la struttura dei nostri attuali computer si basa sui principi definiti da John von Neumann (1903-1957). Egli stabilì la distinzione tra i due grandi aspetti indissociabili delle nostre macchine moderne: l’aspetto materiale, comunemente detto HARDWARE, riguardante tutte le parti fisiche di un computer, e quello, comunemente detto SOFTWARE, riguardante la scrittura del programma che consente di risolvere un problema e di metterlo in memoria nel computer.
Nel 1944 mise a punto il progetto EDVAC, la prima macchina al mondo funzionante sulla base di un programma preregistrato. A quel programma presero parte anche John Mauchly (1908-1980) e John P. Eckert (1919-1995) che avrebbero concepito il primo computer interamente elettronico, l’ENIAC (1946).
La prima generazione dei computer non è contraddistinta solo dall’adozione delle valvole, ma anche da quella del sistema numerico binario, del programma memorizzato, di una vasta gamma di memorie centrali ed ausiliarie, dei linguaggi di programmazione.
Dalla metà degli anni ’50, nei computer le valvole vengono sostituite con i transistor, più piccoli, veloci, affidabili ed economici, dando vita a quella che viene chiamata la seconda generazione. Il computer diventa accessibile ad una vasta gamma di attività e si diffonde in decine di migliaia di esemplari in tutto il mondo.
La terza generazione è basata sui circuiti integrati e sulla miniaturizzazione sempre più spinta ma è l’invenzione, negli anni ’70, del microprocessore, alla base dei computer odierni di quarta generazione, che provocherà una vera e propria rivoluzione informatica: il computer diventa personale ed entra in ogni casa.
Con l’avvento di Internet il mondo diventa veramente un villaggio globale.
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Vetrina Fossili
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“La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa”
Keplero (1571-1630)
La sezione aurea è un numero (1,618…) che deriva dalla proporzione geometrica scoperta dai pitagorici, definita da Euclide, chiamata, in un trattato di Luca Pacioli illustrato da Leonardo, divina proporzione e in seguito, nell’ottocento, sezione aurea.
E’ un numero irrazionale, cioè non si può esprimere con una frazione e ha infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive.
Tale particolare numero ricorre con frequenza incredibile nella natura e nel cosmo, nell’architettura, nella scultura, nella musica ed appare come un simbolo dell’armonia dell’universo e ovunque si riconosca la bellezza che deriva dall’armonia delle proporzioni.
AC / CB = AB / AC
Euclide, nel libro VI degli Elementi, definisce così il rapporto aureo o proporzione estrema e media: “una linea retta è divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore”.
Una proprietà della sezione aurea è che tale divisione dà origine a un processo che può essere ripetuto all’infinito: da un segmento aureo possiamo ottenere infinite sezioni auree sempre più piccole.
In stretta relazione con il divino rapporto sta la successione del Fibonacci, serie numerica in cui i rapporti tra i termini si avvicinano velocemente a quello della sezione aurea.
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Crivello di Eratostene
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“I numeri primi sono i mattoni con cui sono costruiti tutti i numeri naturali; corrispondono agli atomi della chimica e alle particelle elementari della fisica”
K. Devlin, n. 1947
Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per 1 e per se stesso.
I numeri primi giocano un ruolo fondamentale nella teoria dei numeri e il teorema fondamentale dell’aritmetica (IX libro degli Elementi di Euclide) ci dice che essi sono i mattoni con cui sono costruiti tutti i numeri naturali.
Eratostene di Cirene (276 ca-194 ca a.C.), con il suo crivello o setaccio trovò un modo elegante per individuare i numeri primi. Sempre Euclide (proposizione IX,20), con uno dei suoi più bei teoremi, dimostrò l’infinità dei numeri primi.
La distribuzione dei numeri primi è del tutto casuale.
Oggi, per individuare i numeri primi si usano computer opportunamente programmati (l’ultimo, finora, è 243112609-1 ed ha 12978189 cifre (scopri l’ultimo numero primo trovato).
Un impiego di questi numeri molto importante è nella crittografia. La scrittura di messaggi in codice è uno strumento indispensabile per tutelare la segretezza delle comunicazioni. La crittografia a chiave pubblica, usata in Internet, trasforma i messaggi in numeri e il lucchetto matematico è realizzato utilizzando numeri primi molto grandi.
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La crittografia è la scienza che studia il modo di cifrare un messaggio per renderlo intelligibile soltanto a chi ne conosce la chiave.
Impiegata per secoli quasi esclusivamente in ambiente militare e diplomatico oggi la crittografia ci coinvolge quotidianamente: basti pensare alle carte di credito, alla comunicazione GSM dei telefoni cellulari o alle smart card utilizzate per la visione dei programmi satellitari; al software PGP per cifrare le email, all’e-commerce via internet, alla tutela della privacy o dell’ordine pubblico, alla sicurezza delle reti informatiche e così via.
Lo sviluppo della tecnica crittografica si basa su due elementari meccanismi: la trasposizione e/o la sostituzione e cioè modificare l’ordine degli elementi del testo oppure sostituirli con altri.
Le tappe fondamentali sono state: lo scitale greco (V secolo a.C.), la Stele di Rosetta (196 a.C.), il cifrario di Giulio Cesare (102-44 a.C.), il disco cifrante di Leon Battista Alberti (1466), la tavola di Vigenère (1562 ca.), la macchina elettromeccanica cifrante Enigma , usata dai tedeschi durante la seconda guerra mondiale, la “bomba” di A. Turing (1941), Colossus (1943) con 1500 valvole elettroniche, un precursore dei moderni elaboratori.
Dopo aver contribuito alla nascita del computer, la crittoanalisi continuò a impiegare e migliorare la tecnologia informatica e ogni processo di encrittazione è ormai informatizzato e utilizza il sistema a chiave privata o simmetrica e quello a chiave asimmetrica o pubblica.
Esistono diversi tipi di algoritmi (metodi matematici) che consentono l’uso di una chiave pubblica. Il più diffuso è il RSA (1977) che si basa sulla difficoltà di individuare un numero come prodotto di due numeri primi. Si calcola che anche lavorando con tutti i computer del mondo contemporaneamente, per scoprire una chiave di 1.024 cifre (le attuali chiavi militari sono di 2.048 cifre) si impiegherebbe un tempo equivalente all’età dell’universo (15 miliardi di anni).
I numeri primi, che sono alla base dei moderni sistemi crittografici, sono ormai parte integrante della nostra vita di tutti i giorni.
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“Questo misterioso 3,14159… che entra da ogni porta e da ogni finestra e che si trova sotto ogni tetto.”
Augustus De Morgan(1806-1871)
Il rapporto fra una circonferenza e il proprio diametro, simbolicamente rappresentato da π , è nascosto nei ritmi delle onde acustiche come di quelle del mare; interviene spesso in matematica, fisica, statistica, ingegneria, architettura, biologia, astronomia e persino nelle arti.
La più antica documentazione del pi greco è sul papiro di Rhind (1650 a.C.) : per lo scriba egizio Ahmes π = 3,16049, una precisione notevole se pensiamo che per i babilonesi e gli ebrei , mille anni dopo, il valore era 3.
Archimede (287-212 a.C.), con il metodo di esaustione descritto nel suo Misura del cerchio trovò, come media, π = 3,1419. Su un trattato romano di agrimensura troviamo π = 4 (bravi soldati ma pessimi matematici!!!).
In tutta l’Asia il valore del pi greco più usato era la radice quadrata di 10 e fu anche il valore che si diffuse dall’India all’Europa, e che fu usato nel medioevo dai matematici di tutto il mondo. Viète, nel 1579, espresse per la prima volta π usando un prodotto infinito facendo così evolvere la matematica verso identità trigonometriche avanzate e verso il calcolo infinitesimale. Significativi, sul π , i lavori di Snell (1621), Wallis, Pascal, Keplero, Cavalieri, Fermat e i padri del calcolo infinitesimale Leibniz e Newton e, alla metà del settecento, Eulero.
Oggi, grazie ai computer, siamo arrivati a calcolare il π fino a 60 miliardi di cifre decimali.
Il pi greco è un numero irrazionale (Lambert, 1767) (i suoi decimali non hanno mai fine) e trascendente (Lindemann, 1882), cioè non è algebrico e non può essere costruito con riga e compasso e così la quadratura del cerchio, problema che aveva occupato i matematici dall’epoca di Ippocrate fino ai tempi moderni, è impossibile.
L’affascinante pi greco è un tema fisso della cultura matematica da più di due millenni e mezzo e i matematici sperano di svelare alcuni dei misteri che circondano π , una costante universale ancora non ben conosciuta nonostante la sua natura relativamente elementare.
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“Ho trovato un grandissimo numero di teoremi straordinariamente belli”
(P. Fermat, 1601-1665)
Il teorema di Pitagora costituisce sicuramente uno dei risultati più significativi di tutta la matematica. Sebbene questo teorema prenda il nome dal matematico greco, la sua dimostrazione risale ai Babilonesi del tempo di Hammurabi, più di mille anni prima di Pitagora.
Anche gli Egiziani lo conoscevano e lo usavano per costruire angoli retti annodando corde lunghe 3, 4 e 5 unità. Gli Indù lo indicavano col nome di seggiola della piccola sposa, i Persiani con quello di figura della donna maritata; i Greci lo chiamavano pure teorema della maritata.
Il teorema di Pitagora e le sue dimostrazioni compaiono in continenti, culture e secoli diversi (nel 1940 Loonis pubblicò The Pythagorean Proposition che contiene 370 differenti dimostrazioni del teorema di Pitagora).
Una delle prime e più belle dimostrazioni è quella di Euclide negli Elementi:
Proposizione I.47.
“Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.”
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“Dio geometrizza sempre”
Platone, 427-347 a.C.
I solidi platonici, o poliedri regolari, sono il tetraedro, l’esaedro, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro.
Dal triangolo si hanno il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro; dal quadrato l’esaedro, o cubo, e dal pentagono il dodecaedro.
Poliedro F V S n r
tetraedro 4 4 6 3 3
esaedro (cubo) 6 8 12 4 3
ottaedro 8 6 12 3 4
dodecaedro 12 20 30 5 3
icosaedro 20 12 30 3 5
Dalla relazione di Eulero F + V – S = 2 otteniamo la seguente tabella (F= facce, V= vertici, S= spigoli, n= lati di ciascuna faccia, r= numero degli spigoli in ciascun vertice):
I solidi regolari rappresentavano per i greci la quintessenza della bellezza e della simmetria dello spazio.
Nel Timeo, Platone (circa 350 a.C.) associa il fuoco al tetraedro, la terra al cubo, l’acqua all’icosaedro, l’aria all’ottaedro e la forma dell’universo al dodecaedro.
Euclide, nell’ultima proposizione (la 465esima) degli Elementi dimostra che i solidi regolari sono cinque, né più né meno.
Nel 1220 Leonardo Pisano (1170-1228?), detto Fibonacci, nella sua Pratica Geometriae affronta i cinque poliedri regolari e Piero della Francesca (1420/22-1492), matematico e pittore, fu particolarmente colpito dalla simmetria e dalla bellezza dei cinque solidi regolari.
Anche Luca Pacioli (1445-1517) tratta più volte nei suoi libri dei poliedri regolari. Si può dire che da Pacioli in poi ogni matematico si occupa ormai dei poliedri regolari e semiregolari (Cardano, Tartaglia, Maurolico, Bombelli…).
Keplero, addirittura, concepì un modello della disposizione dei pianeti che si serviva di sfere concentriche inscritte o circoscritte ai solidi platonici.
L’analisi dei poliedri ha ottenuto ulteriori sviluppi, in epoca recente, con la topologia, con la creazione di spazi a dimensioni maggiori di tre, con le tassellazioni e le strutture di gruppo in una continua evoluzione matematica che non ha più soste né soluzioni di continuità.
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Lo sviluppo della tecnologia elettronica introdusse notevoli novità anche nel campo delle calcolatrici per ufficio.
All’inizio degli anni ’60 si cominciarono a progettare e a vendere calcolatrici elettroniche da tavolo che andarono a sostituire le ormai superate addizionatrici e calcolatrici meccaniche ed elettromeccaniche.
In Italia le principali case costruttrici di calcolatrici elettroniche da tavolo furono la Industria Macchine Elettroniche, il cui modello più famoso è la IME 84, e la Olivetti che, con i modelli della serie Logos degli anni ’70, si impose nel mercato mondiale delle calcolatrici elettroniche stampanti.
La sempre più spinta miniaturizzazione ha consentito la costruzione, dagli anni ’70, di calcolatrici elettroniche tascabili sempre più potenti e flessibili e, dal 1973 con la HP 65, anche programmabili, del tutto simili quindi ad un calcolatore programmabile.
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I sistemi contabili divennero nel tempo sempre più complessi e perfezionati e furono prodotte macchine da tavolo, macchine registratrici, macchine per ufficio, macchine a ricalco, fatturatrici, tabulatrici a schede, registratori di cassa che funzioneranno fino agli anni ’60, periodo in cui saranno gradualmente sostituiti dagli elaboratori elettronici.
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Olivetti 
P203
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Calcolatrici Meccaniche Piccole
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Comptometer
