I frattali: un mondo autosomigliante?

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Gen 152012
 

I frattali sono molto più che una semplice curiosità matematica: infatti essi offrono un metodo assai  conciso per descrivere oggetti e formazioni. Molte strutture hanno una regolarità geometrica soggiacente, detta invarianza rispetto al cambiamento di scala o autosomiglianza. Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali… La geometria frattale sembra descrivere le forme e le configurazioni naturali in modo più succinto ed esteticamente più valido rispetto alla geometria euclidea tradizionale. (Jurgens, Peitgen, Saupe. 1990).

INTRODUZIONE

La geometria frattale e la teoria del caos hanno messo in moto una vera e propria rivoluzione nella matematica e nella scienza, portando alla luce un nuovo modo di guardare alla realtà. Scienza e matematica hanno sempre cercato un ordine nel caos dell’universo. E’ interessante innanzitutto spiegare il significato di un’espressione come “scienza del caos” che può suonare inizialmente assurda. Questa scienza è riuscita a trovare un ordine in fenomeni che fino ad ora sono stati sempre visti come assolutamente caotici, ma tali fenomeni rimangono a tutt’oggi impredicibili e incontrollabili. Questa rivoluzione è nata dalla scoperta di un nuovo strumento di base per comprendere l’universo, ossia la geometria frattale. Tra le cose che i frattali riescono a rappresentare meglio si possono annoverare le piante, lo scorrere dei fluidi, l’attività geologica, le orbite planetarie, i ritmi fisiologici umani, il comportamento di gruppi animali, gli andamenti socioeconomici, ecc.

STORIA DEI FRATTALI

I pensatori dei tempi antichi notarono che esistevano due forme fondamentali: la linea e la curva. Le linee sono sempre state le figlie predilette degli intellettuali, mentre le curve hanno sempre appassionato gli artisti. La geometria così come la conosciamo fu inventata intorno al 300 a.C. da Euclide di Alessandria, e le sue concezioni hanno da allora dominato il pensiero occidentale. Partendo da assiomi intuitivi come “una retta possiede una lunghezza infinita”, Euclide sviluppò un gruppo coerente di regole logiche per descrivere i punti, le linee e le forme semplici.

Alcuni secoli più tardi, all’inizio del 1600, Cartesio sezionò lo spazio fisico proponendo la possibilità di misurare l’universo usando tre rette perpendicolari tra loro intersecate e suddivise in intervalli perfettamente regolari, il che consente di assegnare a qualunque oggetto esistente una posizione precisa nello spazio. Tutto il creato poteva in questo modo essere visto come una gigantesca pila di piccole scatole perfettamente cubiche. Questa idea divenne la base della visione del mondo della scienza moderna. Newton e Leibnitz presero in considerazione la visione cartesiana del mondo per portarla alla sua conclusione logica un secolo più tardi inventando il calcolo differenziale. L’idea fondamentale sottesa a questo calcolo è quella di trasformare le curve in linee rette in modo da potervi applicare i concetti lineari. Leibnitz asserì che tutte le curve sono costituite da segmenti infinitamente piccoli (chiamati linee tangenti o differenziali). Le linee tangenti sono il nucleo di quasi tutte le scienze e le matematiche moderne. Al giorno d’oggi tutti, dagli architetti agli economisti, usano le tecniche della differenziazione e il suo inverso, ossia l’integrazione, per formulare un sistema di interpretazione dell’universo. Tutti si basano sull’assunto che vuole ogni curva composta da un numero infinito di segmenti.

TRIANGOLO  DI  SIERPINSKI

Nel 1875 il matematico tedesco K. Weierstrass descrisse una curva continua che non poteva essere differenziata, e non sembrava quindi avere linee tangenti. Nello stesso periodo, la matematica fu scossa da un maremoto provocato da un numero sempre crescente di questo strano tipo di curve improvvisamente apparse sulla scena. Forse, il più famoso di questi fenomeni antenati dei frattali è il triangolo di Sierpinski. Per disegnare tale forma, il matematico polacco partì da un triangolo e lo divise in quattro porzioni uguali. La figura 1 mostra come vengono divisi i tre pezzi esterni nello stesso modo in cui viene diviso il triangolo iniziale, continuando nella procedura all’infinito. Avendo la possibilità di proseguire indefinitamente il disegno, si otterrebbe la forma matematica definita Sierpinski. Si provi ora a considerare un altro metodo di costruzione della medesima forma. Si immagini di prendere un triangolo pieno e di bucarlo invece di riempirlo con delle linee. Innanzi tutto, si può estrarre il pezzo centrale, quindi un pezzo più piccolo da ciascuno degli angoli e così via. Alla fine, si otterrebbe lo stesso triangolo (figura 2). Sierpinski incontrò i primi problemi quando tentò di calcolare la superficie di questa figura. Da un lato, un numero infinito di buchi svuota ogni particella dell’area piena e quindi la superficie equivale a zero. Per un altro verso,in ogni fase della procedura si preleva solo un quarto della superficie rimanente, lasciandone dunque tre quarti (ossia la maggior parte) inalterata. Indipendentemente dal livello di iterazione della procedura, ciò che rimane è più di ciò che viene prelevato e la superficie non dovrebbe dunque mai raggiungere lo zero. Dunque la superficie è o non è uguale a zero? L’intuito suggerisce una risposta negativa, ma una verifica tanto rigorosa quanto semplice dimostra il contrario. I problemi di questo tipo hanno complicato la vita di Leibnitz e persino quella dei greci antichi.

Tutte queste curve problematiche formarono una specie di “galleria di mostri” (termine utilizzato da H. Poincarè alle soglie del ventesimo secolo) che non potevano essere risolte con le conoscenze matematiche del diciannovesimo secolo.

LA LINEA COSTIERA DI KOCH

Se misuriamo la lunghezza di una linea costiera irregolare, i risultati del calcolo dipendono dalla lunghezza del righello che si utilizza; non esiste una risposta “esatta”. La figura 3 è una “linea” matematica. Questa forma è stata inventata dal matematico svedese H. Von Koch nel 1904, durante la grande crisi delle scienze matematiche (come molti suoi contemporanei, Koch era ossessionato dall’infinito).Oltre alle coste frattali, i matematici devono a lui l’individuazione degli strumenti per la soluzione delle matrici infinite di equazioni lineari. Per costruire la sua costa, Koch è partito da una linea e vi ha disegnato un’estrusione triangolare. La medesima estrusione viene poi tracciata su ogni segmento di linea che compone la figura risultante e così via. Le approssimazioni successive della linea costiera di Koch possiedono lunghezze sempre crescenti ( 1- 1,333- 1,778- 2,370… …7,492). Queste approssimazioni possono proseguire indefinitamente e la lunghezza totale sembrerebbe dunque infinita.

Collocando tre linee costiere di Koch intorno ad un triangolo, si può creare un’altra forma che è ancora più conosciuta, il fiocco di neve di Koch (figura 4).

DIMENSIONE FRATTALE

La geometria elementare ci insegna che un punto isolato, o un numero finito di punti, costituiscono una figura di dimensione 0; che una retta costituisce una figura di dimensione 1; che un piano, e ogni altra superficie ordinaria, costituiscono delle figure di dimensione 2; che un cubo ha dimensione 3. A questi fatti ben noti i matematici, a partire da Hausdorff 1919, hanno aggiunto che si può dire, di certe figure idealizzate, che la loro dimensione non è un intero: può essere una frazione, per esempio1/2, 3/5, ma è spesso un numero irrazionale, come log 4/log 3 =1,2618, o anche la soluzione di un’equazione complicata. La dimensione frazionaria della linea costiera triangolare di Koch è pari a circa 1,26 mentre la dimensione frazionaria della linea costiera quadrata di Koch è di circa 1,46. Più specificamente, la dimensione frattale si definisce come il rapporto tra il logaritmo del numero di copie e quello della dimensione della forma originale rispetto ad ogni copia. In effetti, l’idea di una dimensione frazionaria ha rivelato un potenziale che va ben oltre quanto avessero immaginato i suoi creatori. Dal momento che in natura abbondano le forme autosomiglianti come le linee costiere, esiste ora la possibilità di caratterizzare la maggior parte del nostro ambiente tramite  questo nuovo indice.

Le montagne, le nuvole, gli alberi e i fiori hanno dimensioni comprese tra due e tre, ed è ora possibile decifrare le caratteristiche di un oggetto osservandone le dimensioni.

La ricerca nel campo delle curve complesse è stata bruscamente interrotta all’inizio del ventesimo secolo da una barriera insormontabile: la difficoltà dei calcoli. I matematici passavano mesi a svolgere calcoli complessi per produrre un’approssimazione anche vaga di curve non lineari di livello di dettaglio infinito. Dal 1925 al 1960, i limiti del calcolo manuale hanno impedito di compiere progressi significativi nella geometria della complessità e dell’infinito.

Dopo di che, sono comparsi i primi computer che divennero i fidi compagni dei matematici.

E’ stato un biologo il primo a basare una teoria matematica su simulazioni computerizzate. Lindenmayer ha avanzato l’idea di automi cellulari per definire un modello di crescita degli organismi viventi nel 1968. In particolare, si interessava allo sviluppo cellulare e agli schemi di ramificazione delle piante. La teoria in se stessa, tuttavia, può essere applicata a un qualsiasi numero di scenari complessi.

AUTOMI CELLULARI

Un automa cellulare è un universo artificiale governato da semplici leggi naturali.Si possono scegliere la struttura di questo universo e le leggi cui obbedisce e poi lasciare che si sviluppi in base a questo sistema. Programmando le leggi in un computer, si può simulare un universo automatizzato e osservare la sua evoluzione (v. figura 5 e 6).

IL DRAGO DI HEIGHWAY

La figura 7 mostra lo sviluppo di un altro celebre automa cellulare grafico. In questo caso, l’univereso è costituito da “cellule” geometriche che appaiono come delle linee. Esiste una sola regola di propagazione: ogni linea si divide in due linee derivate di lunghezza dimezzata; la prima inizia dallo stesso punto da cui si diparte la linea di origine e procede con un’inclinazione di 45 gradi, mentre la seconda prosegue fino al punto finale della linea originale. Le prime due parti della figura 7 rappresentano il modello geometrico di questa regola. La linea orizzontale è quella di origine mentre le due linee inclinate sono quelle derivate.

LA GEOMETRIA DELLA NATURA

Verso il 1970, queste ricerche avevano raggiunto uno sviluppo sufficiente a gettare i presupposti per una rivoluzione nel campo della geometria. Lo scenario includeva gli esperimenti di Koch e Peano, le nuove dimensioni di Hausdorff, le affascinanti bizzarrie di Heighway e i modelli di autoreplicazione definiti da Lindenmayer. Le fondamenta di tale rivoluzione erano costituite dalla nuova tecnologia informatica che consentiva di superare i problemi di calcolo e visualizzazione che avevano fino a quel momento tenuto in scacco tutti gli studiosi.

Dai primi anni cinquanta in poi, il matematico Mandelbrot si era dedicato allo studio degli imprevedibili, e allo stesso tempo pressochè ciclici, alti e bassi del mercato dei beni di consumo. Il prezzo del cotone era oggetto privilegiato della sua attenzione perché erano disponibili dati affidabili riferiti a secoli di commercio. Il costo del cotone si comporta con uno strano tipo di ricorsività: le sue variazioni hanno all’incirca la stessa entità nell’arco dei secoli come di decenni o anche di pochi anni. In effetti, se si ingrandisce un grafico relativo all’andamento del prezzo del cotone nel tempo, ogni parte ha all’incirca il medesimo andamento dell’intero. Mandelbrot chiamò questa somiglianza statistica di una parte all’intero invarianza di scala (v. figura 8). Le registrazioni di altri fenomeni imprevedibili, come le piene dei fiumi o l’andamento del mercato azionario, presentano la stessa struttura intimamente ciclica.

Ciò che rende così complesse le fluttuazioni è il fatto che contengono dei cicli all’interno di cicli più ampi. Per simulare tale andamento, Mandelbrot utilizzò tecniche di iterazione come quelle di Sierpinski e Koch introducendo un fattore casuale ad ogni fase, in modo che la curva non risultasse periodica e artificialmente regolare. Nel 1977 Mandelbrot pubblica il libro “Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione” dove egli dimostrava come molti fenomeni quotidiani nel campo della fisica, della biologia e della matematica diano origine a frattali. Tutti i frattali che egli aveva preso in considerazione si erano rivelati, come la curva di Koch, autosimili per cambiamenti di scala e per traslazioni (in linguaggio matematico , invarianti per trasformazioni lineari ). Alla fine del 1979 Mandelbrot era giunto alla conclusione che valesse la pena esaminare, servendosi di un calcolatore, il comportamento della particolare funzione  x^2+c, in cui sia la variabile x sia il parametro costante c sono numeri complessi. Nel 1982, Mandelbrot ha pubblicato la pietra miliare della sua produzione “The fractal geometry of Nature”. Ha coniato il termine frattale (dal latino frangere, che significa suddividere in frammenti irregolari).

Per aderire alla categoria frattale, una forma deve avere una dimensione Hausdorff/Besicovitch maggiore della sua tradizionale dimensione topologica. In sostanza, i frattali sono quelle stranezze che occupano uno spazio che i matematici hanno abbandonato considerandole incomprensibilmente complesse. Mandelbrot ha anche fatto notare che “algebra” e “frattale” sono etimologicamente opposti. Una volta esplorati i frattali “naturali” autosomiglianti, Mandelbrot scoprì delle procedure iterattive  che servivano a produrre delle costruzioni matematiche astratte, come i famosi insiemi di Mandelbrot e di Julia. Come gli altri frattali, questi insiemi erano stati scoperti molto prima dell’epoca di Mandelbrot, ma erano così complessi che sarebbe stato impossibile visualizzarli e studiarli senza usare dei computer.

L’INSIEME DI MANDELBROT

Per visualizzare l’insieme di Mandelbrot (v. figura 9 ), ogni punto dello schermo del computer viene moltiplicato per se stesso ripetutamente e aggiunto ogni volta al punto originale. E’ certamente la frontiera dell’insieme che offre il terreno di indagine più interessante. E’ stato dimostrato che l’insieme di Mandelbrot è strettamente collegato con il comportamento di tutti i processi dinamici; come tale occupa un posto speciale di primaria importanza in matematica, insieme ad altre figure particolari come il cerchio e i poligoni regolari. Nonostante la semplicità della formula che genera l’insieme di Mandelbrot, i matematici che l’hanno scoperta l’hanno definita come l’oggetto più complesso in assoluto in matematica (è opportuno rimarcare che non fu Mandelbrot a scoprire l’insieme di Mandelbrot). Qualcuno potrebbe definire l’insieme di Mandelbrot come un mostro matematico. Mandelbrot lo ha invece chiamato “la geometria della natura”.

Un ingrandimento dell’insieme di Mandelbrot mostra lo stesso tipo di ramificazione che si riscontra in fenomeni naturali come i fulmini, i cristalli, le crescite aeree delle piante, liquidi che si sciolgono, forme a spirale come quelle delle conchiglie o dei girasole oppure, con l’aggiunta di una colorazione biomorfica, forme che assomigliano ad organismi monocellulari, ecc…

GLI INSIEMI DI JULIA

Un insieme di Julia viene originato prendendo un determinato punto,moltiplicando ripetutamente ogni altro punto per il primo, e sommando ogni volta al punto originale. Pertanto, ogni punto sul piano ha un suo insieme di Julia. Nella figura 10 si possono vedere alcuni insiemi di Julia. L’equazione di iterazione per gli insiemi di Julia è esattamente la stessa usata per l’insieme di Mandelbrot. Le uniche differenze sono costituite dal significato di c e dal punto iniziale dell’orbita. Quando si calcola un insieme di Julia, si utilizza un valore costante c per tutti i punti sullo schermo e l’orbita inizia in corrispondenza del punto dello schermo che viene colorato invece che dall’origine (0,0). Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia presentano ovviamente delle correlazioni notevoli. Infatti se si ingrandisce un punto dell’insieme di Mandelbrot, l’immagine intorno a quel punto assomiglia sempre più a un insieme di Julia mano a mano che ci si avvicina.

Gli insiemi di Julia dalle forme più strane, bizzarre, e quindi più interessanti, sono quelli corrispondenti a punti prossimi alla frontiera dell’insieme di Mandelbrot, cioè a quelli che danno origine a successioni periodiche. Nessuno sa con certezza come accade che le spirali e le ramificazioni degli insiemi di Mandelbrot e di Julia possano originare da semplici equazioni non lineari, per non parlare delle ragioni per cui seguono gli schemi archetipici della natura in modo così aderente. Questi argomenti sono la frontiera più avanzata della ricerca matematica e scientifica attuale. Fin dai tempi antichi, il nitido ordine della matematica si è contrapposto al caos imprevedibile della natura.

ORDINE E CAOS

Il flusso turbolento dell’acqua che scorre in un torrente è un esempio tipico di quei fenomeni che tradizionalmente sono stati esclusi da una puntuale indagine scientifica in quanto caotici, aventi cioè un comportamento imprevedibile e non ripetibile. La scienza della complessità rappresenta oggi una vera e propria rivoluzione scientifica paragonabile a quella, radicale, che ha contraddistinto la più classica e nota delle rivoluzioni scientifiche, quella copernicana. Se, infatti, il sistema astronomico proposto da Copernico ha richiesto l’abbandono della precedente visuale antropocentrica, che vedeva l’uomo occupare un posto centrale nell’intero universo, la scienza della complessità impone un definitivo cambiamento di prospettiva nei confronti di un concetto antico quanto il pensiero umano: il caos

Ordine e caos. Nel corso della storia, e all’interno dell’universo, sono loro a contendersi la supremazia: una piccola variazione di pressione può trasformare il regolare flusso dell’acqua da un rubinetto in un complesso caos di vortici; comunità animali ordinate, comprese quelle umane, possono essere trasformate con incredibile facilità in anarchie incontrollabili. Al polo opposto l’ordine può emergere dal caos, come testimonia l’evoluzione della vita dal caos formale dell’universo, ultimo gradino il genere umano. Il passaggio dall’ordine al caos, e il successivo emergere dell’ordine dall’interno di quel caos, viene rivelato in modo evidente dallo studio di semplici circuiti retroattivi. L’aspetto essenziale del meccanismo di retroazione è questo: esiste una certa quantità x che varia (nel tempo o in relazione a  qualche altra variabile) in modo tale che il valore di x in qualsiasi istante dipende con andamento regolare dal suo valore nell’istante precedente ( figura 11). Procedimenti di questo tipo permeano tutte le scienze esatte e la maggior parte, se non tutte, delle scienze sperimentali. Molta della matematica moderna è stata sviluppata per trattare tali procedure; ad esempio, il caso in cui l’incremento tra la vecchia x e la nuova x è infinitesimale portò allo sviluppo di varie tecniche per la risoluzione delle equazioni differenziali.

Si deve a Cartesio l’intuizione fondamentale secondo cui il legame tra grandezze fisiche- che possono assumere, a seconda delle circostanze, valori diversi, e per questo sono chiamate variabili – è esprimibile con relazioni matematiche di eguaglianza: le equazioni algebriche (così definite perché proprio le regole dell’algebra stabiliscono come effettuare somme e prodotti fra tali variabili). Un metodo efficace per rappresentare variazioni piccolissime delle variabili è il calcolo infinitesimale elaborato, contemporaneamente ma in modo indipendente, da Newton e Leibnitz. Esso dà luogo a un nuovo tipo di equazioni, dette differenziali, le quali pongono in relazione variabili e derivate, gli elementi che esprimono l’entità della variazione. La somma di un numero infinitamente grande di quantità infinitesime è consentita poi dall’integrazione (cioè l’operazione che consente di calcolare un integrale). Le equazioni differenziali costituite da termini che contengono ciascuno solamente una variabile (o una sua derivata) vengono dette lineari, mentre non lineari si definiscono quelle equazioni differenziali dove sono presenti anche termini che contengono prodotti di variabili (o delle loro derivate). Le prime sono risolvibili applicando i metodi del calcolo infinitesimale e corrispondono a modelli matematici dei sistemi fisici che introducono semplificazioni e idealizzazioni.

Per descrivere i fenomeni caotici nella loro concretezza sono invece indispensabili le seconde, che in generale possono essere risolte solamente assegnando via via valori numerici diversi alle variabili e alle loro derivate; un metodo di calcolo che è affrontabile solo disponendo dei più potenti strumenti elettronici di elaborazione.

LA FINE DEL SOGNO DETERMINISTICO

Fu il fondamentale teorema elaborato nel 1892 dal grande matematico H. Poincaré a incrinare  irreversibilmente il sognodeterministico della fisica classica. Analizzando problemi di meccanica celeste, Poincaré stabilì che, mentre le orbite percorse da due corpi (ad esempio il Sole e un suo pianeta) sono regolari e prevedibili, l’interazione anche soltanto con un terzo corpo (un satellite del pianeta) provoca perturbazioni tali che il comportamento del sistema globale risulta intrinsecamente instabile; ovvero – come è possibile affermare attenendosi rigorosamente alle prescrizioni dell’analisi matematica – le equazioni differenziali che lo descrivono non sono integrabili. Questo significa che tali equazioni non danno luogo a una soluzione unica allorchè, a partire da un certo stato iniziale, si intende determinare la traiettoria compiuta dai tre corpi in un intervallo di tempo.

Attraverso il teorema di Poincaré diviene evidente che i sistemi dinamici, nella loro grande maggioranza, non sono stabili, e hanno dunque un certo grado intrinseco di caoticità. Anche considerando le sole interazioni gravitazionali, dobbiamo constatare che persino l’evoluzione, in un intervallo di tempo piuttosto lungo, di un sistema che appare così regolare e prevedibile come quello solare non può essere conosciuta e descritta analiticamente con assoluta precisione. La figura 12 riproduce una simulazione al computer del percorso, chiaramente caotico, tracciato da un “pianeta di prova” che orbita nel campo gravitazionale prodotto dall’azione combinata di sue “soli” fissi S’ e S” di uguale massa; t1 e t2 rappresentano due istanti di tempo successivi.

CONCLUSIONE

Secondo Mandelbrot, nello studio delle curve piane appare una gerarchia di complessità crescenti:

Al primo livello si collocano le curve regolari come la retta e la circonferenza, che localmente si confonde con la retta. A tale livello appartengono pure le curve classiche elementari.

Al secondo livello possiamo porre le curve frattali classiche, nelle quali la complicazione non cambia quando ci avviciniamo: possono diventare più o meno complicate, ma c’è una “invarianza” della forma rispetto alla distanza. Abbiamo allora una dimensione frattale che è compresa fra 1 e 2, e tale dimensione rimane la stessa quando ci avviciniamo alla curva.

Al terzo livello troviamo l’insieme di Mandelbrot: quando ci avviciniamo sempre di più riconosciamo in alcuni particolari ciò che si osserva globalmente. Però abbiamo un costante aumento della complessità, e possiamo dire che il caos aumenta, ma esso ha una struttura ordinata, perché descrivibile matematicamente.

Infine, al quarto livello tutto è davvero caotico e se ci avviciniamo non si scorge più nei dettagli ciò che si vedeva globalmente, ma si osservano delle cose nuove e impreviste.

Possiamo quindi concludere che il livello più semplice era quello studiato dalla geometria elementare. Il secondo livello è di grande importanza nelle applicazioni perché si riscontra facilmente in natura. Il terzo livello è quello dell’insieme di Mandelbrot, ed il quarto corrisponde al caos più completo ed incontrollabile.

Con questa classificazione si passa da ciò che è semplice e regolare a quello che risulta estremamente caotico, ed emergono allora le categorie di fondo del pensiero scientifico, cioè il rapporto locale-globale e ordine-caos. Mandelbrot arriva allora alla inattesa conclusione che questi oggetti che venivano considerati “mostruosi” sono in effetti ciò che osserviamo in natura. Queste forme di ordine entro il caos possono essere formalizzate con i metodi della geometria frattale.

Nella concezione meccanicistica l’Universo viene considerato come una meravigliosa macchina, formata da parti indipendenti, nella quale il tutto è la somma delle singole parti. Entro tale schema, l’evoluzione cosmica risulta univocamente determinata dalle leggi meccaniche, una volta note  le condizioni iniziali. La scienza moderna ha superato il meccanicismo, il determinismo e il riduzionismo, per vari motivi, molto diversi:

Con la “relatività di Einstein” (1905) viene dimostrato che non è possibile ridurre l’elettromagnetismo alla meccanica, ed appare allora un profondo legame tra lo spazio e il tempo.

Con la “fisica quantistica” (1927) viene introdotto il “principio di indeterminazione” di Heisenberg, e il doppio aspetto corpuscolare e ondulatorio in microfisica. Le leggi fisiche diventano allora di tipo probabilistico.

Con la “teoria unitaria del mondo fisico e biologico” di Fantappié (1942), vengono introdotti i fenomeni “sintropici”. Si ha quindi una dipendenza dei fenomeni dal passato (cause) e dal futuro (fini). Di conseguenza nell’universo abbiamo una doppia tendenza verso l’ordine e verso il disordine.

Con il “caos deterministico”, scoperto da Lorenz (1963), viene dimostrato come sistemi deterministici anche molto semplici possono avere un comportamento “caotico”, ed allora ogni previsione sull’evoluzione del sistema è impossibile. Se studiamo un modello semplificato dei fenomeni metereologici, con tre gradi di libertà, esso si comporta in modo caotico, cioè imprevedibile. Utilizzando il computer si trova allora il nuovo “attrattore caotico” di Lorenz, che è un frattale. Infatti in un sistema caotico le perturbazioni microscopiche vengono enormemente amplificate ed interferiscono con il comportamento microscopico del sistema. Accade allora che due orbite vicine divergono sempre di più rendendo impossibile ogni previsione sul comportamento del sistema.

La nuova “scienza del caos” che così si ottiene si propone di studiare i sistemi “complessi” ed apparentemente disordinati. Si trova allora che molti fenomeni della natura stanno a metà strada tra determinismo e indeterminismo e tra ordine e disordine.

Possiamo quindi concludere che con la scoperta del caos e degli attrattori di tipo frattale, si ha una grave sconfitta del “riduzionismo” in base al quale le proprietà globali sono univocamente determinate da quelle locali. In effetti, le interazioni dei componenti di un sistema ad una data scala possono produrre un comportamento globale completamente diverso, e questo porta a una vera e propria rivoluzione nella fisica, paragonabile a quella della relatività e dei quanti.

SITI INTERNET  PER SAPERNE DI PIU’:

BIBLIOGRAFIA (in italiano)

  • Caos. La nascita di una nuova scienza  di J. Gleick. Rizzoli
  • Complessità.Uomini e idee al confine tra ordine e caos di M.M. Waldrop. Instar libri
  • Gli oggetti frattali di B.B. Mandelbrot. Einaudi
  • La geometria della natura di B.B. Mandelbrot. Montedison-Mi
  • La bellezza dei frattali di Peitgen e Richter. Bollati Boringhieri
  • L’estetica del caos di J. Briggs. Red edizioni
  • Caos e frattali di R.L: Devaney. Addison-Wesley Italia
  • Spazio,iperspazi,frattali di G. Arcidiacono. Di Renzo Editore
  • Frattali di D.Oliver e D. Hoviss. Jackson libri
  • Frattali: realizzazioni con il computer di F.Rossati e G.Gamarino. Levrotto e Bella-To
  • Frattali Flib Asteroidi di S. Bettelli e R. Biolchini. Zanichelli
  • Dove va la matematica (cap. 4) di K.Devlin. Bollati Boringhieri

Il Museo di Informatica e Storia del Calcolo di Pennabilli  ha 280 programmi scientifici sui frattali ; cdrom e videocassette sui frattali e la teoria del caos e una collezione di oltre 12.000 frattali già calcolati e memorizzati.

  • APPENDICE 1 : Punti singolari e curve patologiche
  • APPENDICE 2 : Triangolo di Sierpinski
  • APPENDICE 3 : La curva di Koch
  • APPENDICE 4 : Frattali e autosimilarità
  • APPENDICE 5 : Invarianza di scala e leggi di potenza
  • APPENDICE 6 : L’algoritmo dell’insieme di Julia
  • APPENDICE 7 : L’algoritmo dell’insieme di Mandelbrot

a cura del prof. Baldoni Renzo , direttore del Museo

   
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