I caleidocicli di Escher

LA  VITA (1898-1972)

Maurits Cornelis Escher è nato il 17 giugno 1898 a Leeuwarden. Al liceo di Arnheim ebbe un eccellente maestro di disegno, F.W. VAN DER HAAGEN, che insegnandogli la tecnica dell’incisione su linoleum contribuì a sviluppare la predisposizione di Escher per l’arte grafica. Dal 1919 al 1922 frequentò la Scuola di architettura e di arte decorativa di Haarlem, dove seguì i corsi di tecniche grafiche libere di S. JESSURUN DE MESQUITA, la cui forte personalità influì notevolmente  sul suo futuro sviluppo di artista grafico. Nel 1922 si trasferì in Italia e nel 1924 si stabilì a Roma. Nel corso dei dieci anni trascorsi in Italia compì numerosi viaggi di studio. Nel 1934 si trasferì per due anni in Svizzera e poi per cinque a Bruxelles. A partire dal 1941 visse a Baarn in Olanda, dove morì il 27 marzo 1972 all’età di 73 anni.

L’OPERA

L’opera di Escher consiste  di una serie di stampe che hanno per tema soprattutto paesaggi mediterranei e dell’Italia del Sud, prodotte  quasi tutte prima  del 1937, e di ulteriori 70 opere (dopo il 1937) di impronta matematica.

Nelle opere a sfondo matematico possiamo distinguere tre temi: la struttura dello spazio, la struttura del piano, la relazione tra spazio e superficie.

La struttura dello spazio

Se si osservano le stampe di Escher nella sua totalità si nota che egli non ricerca tanto il lato pittorico quanto, piuttosto, la struttura. Nonostante il suo soggiorno decennale a Roma, al centro dei resti monumentali dell’antichità, Escher dedicherà loro appena qualche quadro e anche le visite a Pompei non hanno lasciato traccia alcuna nella sua opera. Dopo il 1937 non si occuperà più di strutture spaziali. L’attenzione per figure e forme strettamente matematiche si svilupperà solo più tardi e si fonderà sull’ammirazione delle strutture dei cristalli.

All’interno del tema spazio-struttura si distinguono tre categorie:

a) paesaggi
b) compenetrazione di mondi diversi
c) solidi matematici astratti.

La struttura del piano

Lo sviluppo di questo tema comincia con l’interesse per la divisione regolare del piano, indotta in Escher in modo particolare dalle visite all’Alhambra. Dopo uno studio intenso, che gli costò molta fatica, non essendo Escher un matematico, egli elaborò un complesso sistema per la suddivisione regolare del piano, sistema che avrebbe più tardi suscitato la meraviglia di cristallografi e matematici. Nelle opere dedicate ai cicli, nelle quali fase iniziale e finale sono interscambiabili, viene di norma utilizzata la divisione regolare del piano. Da ultimo, la divisione regolare del piano si ripresenta nelle sue approssimazioni all’infinito.

La struttura del piano si pone alla base di tre gruppi di quadri:

a)  metamorfosi
b)  cicli
c)  approssimazioni all’infinito.

Relazione tra spazio e superficie

Esiste un problema ben noto: come rappresentare le tre dimensioni in una superficie bidimensionale. Su questo punto Escher sottopone le leggi della prospettiva, che dal Rinascimento valgono per la rappresentazione spaziale, a una valutazione critica, di ricerca, e trova nuove leggi che illustra nei suoi quadri prospettici. Ritroviamo tre gruppi di composizioni:

a)  l’essenza della rappresentazione ( spazio conflittuale-superficie)
b)  prospettiva
c)  figure impossibili.

I  CALEIDOCICLI

Kaló (bello) + eîdos (figura) + kŷklos (anello)

Un caleidociclo è un anello tridimensionale formato da tetraedri. Le più belle e imponenti realizzazioni visive del concetto di anello si trovano, a mio avviso, nelle opere di Escher. Egli ha creato alcuni disegni che sono tra i più concettualmente stimolanti di tutti i tempi. Molti hanno la loro ispirazione in paradossi, illusioni o doppi sensi. I matematici furono tra i primi ammiratori dei disegni di Escher, e si capisce il perché: spesso essi sono basati su principi matematici di simmetria o di regolarità. Ma in un disegno tipicamente escheriano c’è molto di più di semplici simmetrie e regolarità: spesso c’è un’idea di fondo che viene realizzata in forma artistica. In particolare l’anello è uno dei temi più frequenti nell’opera di Escher. Il concetto di anelli contiene quello di infinito: un anello, infatti, non è proprio un modo per rappresentare un processo senza fine in modo finito? In effetti l’infinito interviene ampiamente in molti disegni di Escher. Spesso ci sono più copie di uno stesso tema giustapposte l’una all’altra in modo armonioso; nella famosa stampa Metamorfosi vediamo una serie di tali forma. Nei piani tassellati di Metamorfosi o di altri quadri, c’è già un’allusione all’infinito. Ma in altri disegni di Escher appaiono visioni più inquietanti dell’infinito. In alcuni dei suoi disegni, un unico tema potrà ripresentarsi a diversi livelli di realtà. Per esempio, un livello del disegno rappresenterà chiaramente la fantasia o l’immaginazione; un altro livello potrà rappresentare la realtà. Ma cosa succede se la catena dei livelli non è lineare ma forma un anello? Cosa sarà allora realtà, cosa sarà fantasia? Il genio di Escher sta nella sua capacità di escogitare e allo stesso tempo realizzare figurativamente dozzine di mondi semi-reali e semi-immaginari, mondi pieni di anelli, nei quali sembra invitare i suoi spettatori ad entrare.

Nel volume “Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante” di D.R. Hofstadter, l’autore non solo approfondisce il tema dell’anello, dello strano anello, ma giunge alla conclusione che Escher, nel campo dell’arte, è la massima approssimazione umanamente concepibile all’idea di ricorsività e cattura in maniera sorprendente in alcune sue immagini lo spirito del Teorema di Gödel. Non è possibile sintetizzare, pena la banalizzazione, le oltre 800 pagine di serie e coinvolgenti considerazioni dell’autore, per cui invitiamo i più curiosi a dedicare qualche settimana del loro tempo a questo splendido libro.

Ma torniamo a considerazioni più semplici e pratiche.

Per costruire un caleidociclo si parte da diversi tetraedri identici, si collegano, a due a due, ottenendo una catena e poi si uniscono realizzando così un cerchio chiuso.

Si può dimostrare matematicamente che esiste una classe infinitamente grande di forme tridimensionali. I caleidocicli sono straordinariamente simmetrici e le numerose loro superfici esterne invitano a colorarli. La colorazione delle superfici causa molti effetti geometrici. Se applichiamo i disegni di Escher ai caleidocicli, molte delle sue opere acquistano maggior risalto. Per capire meglio dobbiamo, però, approfondire un po’ la divisione ciclica del piano.

Divisione ciclica del piano

Immaginiamo di voler piastrellare un pavimento. Tante piastrelle identiche vengono poste come in un puzzle per coprire il pavimento uniformemente. Si possono mettere le piastrelle in modo più o meno casuale ma, di solito, vi è un motivo che si ripete a intervalli regolari. Un tale motivo viene definito divisione ciclica del piano. Questo tipo di divisione costituiva il tema principale di Escher, anzi la sua “ossessione disperata”. Fino a quando la forma delle piastrelle è un triangolo equilatero, o un quadrato o un esagono regolare, è facilissimo trovare un motivo. Escher però si era proposto di ideare una divisione ciclica del piano, nella quale gli elementi rappresentassero figure riconoscibili in natura. Matematici e cristallografi avevano già esaminato teoricamente tutti questi motivi, trovando delle regole valevoli per ogni divisione ciclica del piano. Dopo esser venuto a conoscenza di ciò, Escher interruppe i suoi deludenti esperimenti e utilizzò tutta la sua energia e il suo talento creativo per sviluppare delle figure, che si sovrapponessero secondo il suo desiderio. Portò a termine più di 150 schizzi a colori di motivi ciclici, formati da figure fantastiche. Nel disegno Rettili una figura di questo tipo fugge dalla superficie del blocco da disegno per introdursi nuovamente nel suo mondo pavimentato.

L’esatta definizione di una divisione ciclica del piano richiede che il motivo possa venir riprodotto su se stesso attraverso uno spostamento fisso di direzione e di percorso. Nel linguaggio matematico questo procedimento si chiama traslazione di una quantità di punti nel piano. Tutte le ripetizioni di un qualsiasi punto formano un reticolo. L’ordine di questo reticolo non dipende dalla scelta del punto. I collegamenti paralleli dei punti del reticolo danno sempre luogo ad una rete di parallelogrammi. Attraverso ulteriori divisioni parallele si forma una rete di triangoli. Ogni divisione ciclica del piano si basa su una tale rete di linee: la forma e la grandezza degli elementi originari del piano non hanno, in questo caso, nessuna importanza. Le stesse reti così originatesi da parallelogrammi o triangoli formano, a loro volta, una superficie pavimentata costituita da singoli pezzi uguali fra di loro.

I movimenti simmetrici possibili sono tre: rotazione, quando il campione ruota attorno al punto fisso; riflessione quando, tracciando una linea retta attraverso il campione, una metà del campione diventa l’immagine riflessa dell’altro. Infine la riflessione a spinta quando si sposta il motivo lungo un percorso per poi rifletterlo lungo le corrispondenti linee rette.

Nei suoi disegni a colori Escher ha distribuito i colori in modo tale che, di volta in volta, figure vicine potessero avere colori diversi diventando un precursore di quella che oggi viene chiamata “simmetria a colori”.

Coprire un piano senza lasciare spazi liberi, utilizzando motivi che si compenetrano soltanto attraverso delle copie è un’impresa difficile. Lo stesso Escher ha fatto diversi tentativi di utilizzare suoi motivi periodici, per strutturare la superficie di oggetti tridimensionali. Se si cerca poi di decorare i caleidocicli con i disegni periodici di Escher, si scopre che non è così facile come sembra. Per risolvere il problema ci viene in aiuto la “geometria proiettiva”, che è un ramo della geometria che studia quali caratteristiche di un oggetto rimangono invariate se lo si proietta su un’altra superficie.

Ci sono diversi tipi di proiezione; la proiezione centrale (quella del proiettore per diapositive): una fonte a forma di punto emette un cono luminoso che ingrandisce l’immagine e la riproduce su un piano. Nella proiezione parallela l’immagine viene trasmessa attraverso raggi paralleli. Le caratteristiche essenziali della divisione ciclica del piano, della quale si ha bisogno per un rivestimento ininterrotto dei caleidocicli, vengono mantenute solo con la proiezione parallela.

Escher aveva un criterio severo per la colorazione delle divisioni cicliche del piano: due motivi adiacenti dovevano avere colori differenti; solo attraverso il contrasto di colori, infatti, si possono far risaltare in uno schizzo di copie identiche singoli motivi in modo riconoscibile. Potrà sembrare strano, eppure i problemi che sorgono colorando rientrano nell’ambito della matematica. Data una determinata struttura da colorare (come una carta geografica), i matematici chiedono: di quanti colori diversi si ha bisogno al massimo per risolvere il problema? In quanti modi diversi posso colorare la struttura? Si possono distribuire i colori in modo tale che appaiano obbligatoriamente determinate combinazioni di colori? E’ estremamente difficile rispondere a queste domande, specialmente se la struttura è complicata e la colorazione sottostà a regole severe. Calcolo combinatorio, teoria grafica e topologia sono i rami della matematica moderna che si occupa di questi problemi.

Il problema del numero minimo di colori dei quali si ha bisogno per una qualsiasi carta geografica messa in piano o su una superficie sferica, è rimasto per più di duecento anni irrisolto, nonostante molti matematici capaci abbiano cercato una soluzione. Quattro colori sono sufficienti per colorare un disegno piano secondo le esigenze per carte geografiche; per le divisioni cicliche del piano è meglio se i colori sottolineano le simmetrie del disegno. Prima di una soluzione sistematica data da matematici e cristallografi, Escher aveva lavorato a lungo e ordinato in sistemi le possibilità trovate in modo sperimentale.

MODELLI DI CALEIDOCICLI

Escher possedeva una fantasia geniale ed era un grafico estremamente abile artigianalmente; tuttavia il motivo degli effetti straordinari dei suoi disegni è da ricercare nella matematica. Non la matematica in senso di numeri ed equazioni che viene in mente subito alla maggior parte di noi, ma la geometria, quella classica e quella moderna. Anche se Escher con la sua fantasia poteva immaginare gli effetti fantastici che voleva creare graficamente, il mezzo necessario alla realizzazione di tali effetti rimaneva la matematica. A tale proposito leggeva trattati tecnici e corrispondeva con matematici e cristallografi. In queste lettere è evidente l’opinione modesta di Escher nei confronti delle proprie conoscenze matematiche. Ciononostante nei suoi disegni, Escher dimostra di avere una buona padronanza dei principi fondamentali della matematica.

I modelli qui presentati sono opera di Doris Schattschneider, docente di matematica al Moravian College di Bethlehem, Pensilvania e di Fallace Walzer, artista di New York, che ha fatto da supervisore alla preparazione dei disegni e alla produzione delle copie dei modelli.

I solidi geometrici, alla base dei modelli, sono: il tetraedro e l’icosaedro (formati da triangoli equilateri), il cubo (sei quadrati), il dodecaedro (dodici pentagoni regolari), il cubo-ottaedro (sei quadrati e otto triangoli equilateri) e i caleidocicli esagonali, formati da un reticolo di triangoli equilateri.

Modelli

(la descrizione esplicativa è posta a fianco dei singoli modelli esposti).

1. RETTILI, tetraedro
2. TRE MONDI, ottaedro
3. FARFALLE, icosaedro
4. PESCE, cubo
5. CONCHIGLIE E STELLE MARINE, dodecaedro
6. INCONTRO, caleidociclo ritorto
7. COLEOTTERI, caleidociclo esagonale
8. PESCE, caleidociclo esagonale
9. TRE ELEMENTI, caleidociclo esagonale
10. PESCE, ANATRA, SAURO, caleidociclo esagonale
11. VERBUM, caleidociclo esagonale
12. FIORI, caleidociclo quadrato
13. PARADISO E INFERNO, caleidociclo quadrato
14. SAURI, caleidociclo quadrato
15. PESCI ASSORTITI, cubo-ottaedro

Sono presentati ulteriori  21 solidi rivestiti dai più noti disegni periodici di Escher, con un gradevolissimo effetto ottico.

LA MOSTRA PROSEGUE…

Per comprendere meglio l’eccezionale produzione di Escher, ai margini della mostra I caleidocicli di Escher , sono state allestite alcune stazioni multimediali che consentono di visionare, fin nei più piccoli dettagli, oltre 700 opere di Escher; di approfondirne la vita e di vedere Escher al lavoro grazie a filmati d’epoca ed anche di manipolare in modo interattivo le immagini di Escher per creare disegni personalizzati, giocare con la prospettiva, risolvere puzzle, miscelare colori creando così straordinarie combinazioni d’arte, matematica e mondi immaginari.

La mostra si chiude con l’esposizione dei 76 disegni più significativi di Escher, ognuno con didascalia esplicativa, secondo la seguente suddivisione:

1. Prime opere (1-7): sette disegni scelti tra numerosi lavori realizzati prima del 1937.
2. Divisione regolare del piano (8-35): la sezione più ricca, con immagini riflesse, figure con sfondo, forma e contrasti, il numero infinito, storie illustrate, riempimento irregolare della superficie.
3. Lo spazio illimitato (Lo spazio illimitato (36-38): lo spazio illimitato, divisione spaziale cubica, tre piani intersecanti.
4. Cerchi e spirali spaziali (39-46): nodi chiusi,nastri di Moebius, spirali.
5. Immagini riflesse (47-54): nell’acqua, sferiche.
6. Inversioni (55-56): cubo, convesso e concavo.
7. Poliedri (57-62): tetraedri, dodecaedri, solidi regolari.
8. Relatività (63-67): punto prospettico all’orizzonte, al nadir e allo zenit.
9. Conflitto fra superficie e spazio (68-73): spazio tridimensionale e illusioni spaziali.
10. Edifici impossibili (74,75,76): i tre disegni più noti e riprodotti: Belvedere, Salita e discesa, Cascata.

Per tutta la vita Maurits Cornelis Escher confessò la propria incapacità di comprendere la matematica, dichiarandosi “completamente digiuno di studi e di conoscenze nel campo delle scienze esatte”. Fin da bambino, però, era affascinato dall’ordine e dalla simmetria. Quell’attrazione lo condusse a studiare le configurazioni delle piastrelle dell’Alhambra a Granata, a esaminare disegni geometrici in articoli di matematica e infine a seguire le proprie idee originali sulla tassellatura del piano. L’attenzione che Escher prestava ai colori dei suoi disegni di tasselli interconnessi anticipava le ricerche successive di matematici e cristallografi nel campo della simmetria di colore.

Escher scriveva che una delle sue spinte principali era “un profondo interesse per le leggi geometriche contenute nella natura che ci circonda” e tentava di dare un’espressione visiva a concetti astratti e di rappresentare le ambiguità dell’osservazione e della conoscenza umana. Così facendo, si trovò sovente in un mondo governato dalla matematica. Escher era addirittura ossessionato dal concetto di “divisione regolare del piano” e realizzò oltre 150 disegni a colori che dimostrano la sua ingegnosità nella creazione di figure che riempiono il piano di loro cloni. Questi disegni illustrano simmetrie di molti tipi diversi, ma per Escher la divisione del piano era pure un mezzo per catturare l’infinito.

Nel 1957 il matematico H.S.M. Coxeter inviò a Escher una ristampa di un suo articolo in cui illustrava la simmetria del piano con alcuni disegni di Escher. Lì l’artista trovò una figura che gli diede “una vera scossa”, una tassellatura iperbolica di triangoli che mostrava proprio l’effetto desiderato. Quattro anni dopo Escher escogitò la propria soluzione al problema dell’infinito all’interno di un rettangolo. L’algoritmo ricorsivo da lui trovato dà luogo a una configurazione sempre simile a se stessa, nella quale ogni elemento è in rapporto con un altro per via di un cambiamento di scala. Curiosamente, le configurazioni autosomiglianti ci danno esempi di figure che hanno dimensioni frazionarie (o frattali), un’ambiguità che Escher avrebbe senza alcun dubbio apprezzato.

Verso la fine della vita, Escher scriveva: “Soprattutto, sono felice che da tutto questo siano risultati contatti e amicizie con matematici. Spesso proprio loro mi hanno dato nuove idee, e talvolta c’è stata fra noi addirittura un’ interazione. Come possono essere giocosi, questi signori e queste signore di grande cultura!”.

BIBLIOGRAFIA

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• M.C. Escher,Esplorando l’infinito, Garzanti, 1991
• R. Hofstadter,Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, Adelphi Edizioni, 2001
• M.C. Escher, Grafica e disegni, Evergreen, 1992
• D. Schattschneider, M.C. Escher Caleidocicli, Taschen, 1992
• Andrea Bonfiglioli e Camilla Valentini, Matematica Arte e Tecnologia: da Escher alla Computer Graphics, Edizioni Aspasia, 2000
• D. Schattschneider,Le metafore di Escher, Le Scienze n. 317,gennaio 1995
• M. Fellows, The life and works of Escher, Siena, 1995
• M.C. Escher, Book of Boxes, Taschen, 1998
• Albert Flocon, A’ la frontière de l’art graphique et des mathématiques:Maurits Cornelis Escher, in « Jardin des Arts « ,131, 1957
• Martin Gardner, The Eerie Mathematical Art of M.C. Escher, in “Scientific American”, vol.214, aprile 1966
• J.L. Locher, Il mondo di Escher, Milano, 1978
• Beard Col. R.S., Patterns in Space, Creative Publications,Palo Alto, California,1973
• Bool F. H. e altri, Escher,His Life and Complete Graphic Work, NY, 1982
• Coxeter H.S.M., Introduction to Geometry, NY, 1969
• Coxeter H.S.M., M.C. Escher: Art and Science, Amsterdam, 1987
• Cundy H.N., Mathematical Models, Oxford, 1961

Un sito internet interessante su Escher è www.worldofescher.com . Seguendo i vari link si può proseguire l’affascinante viaggio nell’universo di Escher iniziato, con molta modestia ma con grande passione, nel Museo di Informatica e Storia del Calcolo di Pennabilli.

(Questa relazione online contiene solo il testo; la parte grafica (pesante diverse decine di megabyte) è stata esclusa per consentire un facile e veloce scaricamento).

A cura del prof. Renzo Baldoni – Direttore del Museo.