Fare Geometria

Sono chiamati “geopiani” alcuni strumenti didattici adatti a favorire l’esperienza geometrica. Ideati dal matematico pedagogista inglese Caleb Gattegno sono efficaci a diversi livelli di apprendimento. Tale sussidio è costituito da una tavoletta di legno sulla quale è disegnato un reticolato i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini o delle viti; fra di essi si possono tendere degli elastici di diverso colore. Sui geopiani si possono tracciare le più diverse figure; diviene così possibile rappresentare e studiare numerose differenti situazioni geometriche: relative alla forma e alle proprietà delle figure, alle dimensioni ed estensioni, problemi di simmetria, di similitudine, di ricerca di casi possibili, di classificazione ed altri ancora. Con un geopiano a 9 chiodi si possono ottenere tutti i tipi di quadrilateri: quadrati, rombi, rettangoli, parallelogrammi, trapezi, deltoidi, ecc. Con un geopiano a 16 chiodi si può illustrare il teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot.

Con un geopiano a 25 chiodi si possono costruire molti angoli oppure introdurre i primi concetti sul piano cartesiano o proporre esercizi sulla simmetria assiale e su quella centrale o sulla determinazione dell’area di figure poligonali. Naturalmente aumentando il numero dei chiodi del geopiano, aumentano anche le situazioni che si possono proporre. E’ evidente che un geopiano con 121 chiodi potrà essere utilizzato magnificamente per introdurre il piano cartesiano o per l’equivalenza delle figure poligonali e per metterne in evidenza i vari elementi. Un altro geopiano è quello formato da un reticolato a forma di dodecagono regolare e permette di rappresentare triangoli equilateri, quadrati, esagoni e dodecagoni. Delle innumerevoli attività che si possono effettuare con questi strumenti è bene tenere presente l’opportunità che gli allievi riproducano sul quaderno le situazioni e i risultati realizzati sul geopiano.

L’origami è un’antichissima tecnica di origine giapponese che insegna a piegare un foglio di carta, senza mai tagliarlo e incollarlo, per realizzare figure di varia natura e decorazioni. Un modo interessante, ma ancora poco conosciuto, per avvicinarsi alle figure geometriche fondamentali è l’origami geometrico: mediante piegature del foglio di carta, basate su proprietà di simmetria, è possibile ottenere sia figure geometriche piane sia figure geometriche tridimensionali e tutto senza usare né la matita né gli strumenti della geometria. L’unica cosa che serve è infatti la carta.

Con la carta, usando anche la tecnica dell’“origami modulare”, gli allievi hanno costruito figure geometriche piane, solidi platonici, poliedri stellati e curve nel piano: parabola, ellisse, circonferenza, iperbole, spirale.

Gli inviluppi sono composizioni grafiche che utilizzano strutture portanti costituite da una serie di segmenti disposti ordinatamente in modo da offrire l’illusione ottica di un loro movimento di inviluppo. La costruzione grafica inizia con la determinazione della struttura portante che può essere composta da due o più segmenti disposti a piacere. Al termine della costruzione grafica si ottiene una composizione di segmenti molto elegante. Le curve più interessanti costruite dai ragazzi sono la parabola, la ellisse, l’iperbole, la circonferenza, l’asteroide, la nefroide. Alcune delle curve ottenute come inviluppi di rette si possono anche “ricamare” con ago e fili colorati o su tavolette di compensato leggero sulle quali sono stati predisposti i chiodi fra cui tendere elastici o fili.

Nell’apprendere la geometria normalmente un giovane passa attraverso due fasi: in un primo tempo egli prende suggerimenti e indicazioni dall’esterno, dagli oggetti che lo circondano, poi, guidato dall’intuizione, rielabora le sensazioni che gli provengono dai sensi e, poco a poco, separa il contingente dall’essenziale e arriva, infine, alla più assoluta astrazione e al dominio della logica pura. Per aiutare l’allievo in questo processo è molto utile il ricorso a materiale didattico specifico, ai cosiddetti “modelli geometrici”.

E’ bene che sia il ragazzo a costruire da se stesso i materiali didattici: ciò lo costringe a una maggiore attenzione e spesso lo conducono ad accorgimenti che mettono in luce le proprietà più significative.

In questa mostra vengono presentati alcuni modelli, costruiti dagli allievi, per triangoli, per quadrilateri, modelli per la scoperta delle proprietà delle isometrie, delle omotetie, per l’equiestensione delle figure piane, modelli per il teorema di Pitagora ed altro ancora.

Un poliedro è un sistema di poligoni ordinari, detti facce del poliedro, disposti in modo da formare una superficie chiusa che delimita una porzione finita di spazio i cui punti sono i punti interni del poliedro. I lati e i vertici delle facce sono rispettivamente gli “spigoli” e i “vertici” del poliedro.

I poliedri regolari sono cinque: tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro; sono detti anche “solidi platonici”. Dopo Euclide si occupò di poliedri Archimede che andò alla ricerca di forme poliedriche che presentassero alcune regolarità; sono noti 13 solidi a facce regolari detti “poliedri semiregolari” o “poliedri archimedei”. Accanto a questi esistono altri 13 solidi detti “archimedei duali”. Se si rinuncia alla convessità ma si mantiene la condizione che le facce del poliedro siano regolari e congruenti, si ottiene un altro gruppo di quattro poliedri regolari ma concavi, i “poliedri stellati” legati ai nomi di Keplero e Poinsot.

Nello studiare le proprietà dei poliedri regolari è interessante far sperimentare ai ragazzi in quali modi sia possibile combinare i triangoli, i quadrati e i pentagoni per comporre un poliedro regolare. Per calcolare il numero delle facce, quello dei vertici e quello degli spigoli ci serviremo della relazione di Eulero: F+V-S=2 e raccoglieremo i dati in una tabella.

Nella vita quotidiana ci si imbatte spesso in meccanismi di svariati tipi costituiti da aste rigide tra loro incernierate oppure scorrevoli l’una sull’altra. In ciascuno di questi meccanismi ci sono parti in movimento che, interagendo, trasformano un tipo di movimento in un altro. Nel pantografo, ad esempio, se P è fissato e il punto A descrive una curva allora il punto B descrive un’altra curva che ha la stessa forma della prima, ma ingrandita di 2 volte. Desta molta sorpresa negli allievi la scoperta, dovuta a Mascheroni nel 1797, che “tutte le costruzioni che si possono ottenere con riga e compasso si possono eseguire col solo compasso”. Un meccanismo per tracciare un segmento rettilineo è il meccanismo di Watt o l’inversore di Peaucellier a 7 aste incernierate.

Nel 1875 Kempe ha dimostrato che qualsiasi curva algebrica può venir tracciata con un biellismo. Ma anche per una curva semplice come una conica il meccanismo può essere molto complicato.

Gli allievi delle classi terze hanno ricostruito il meccanismo di Watt completo (1784), di Tchebyceff (1850) e di Peaucellier (1864) per tracciare le rette, utilizzando le asticine di legno dei gelati collegate con spilli; il quadrilatero articolato per disegnare curve di forme molto diverse; il compasso conico per tracciare una ellisse.

Per i meccanismi più complessi per il tracciamento di curve si è fatto ricorso a simulazioni al computer.

La preparazione della mostra “fare geometria” ha rappresentato, per i ragazzi, una positiva esperienza ed ha coinvolto anche quegli allievi che solitamente hanno difficoltà con la matematica insegnata in modo “tradizionale”. Il trasformare l’aula scolastica in una sorta di “laboratorio di geometria” significa considerare la matematica quasi alla stregua di una scienza sperimentale.

Abbiamo esperienza, come insegnanti, che se le nozioni e i concetti sottesi alle definizioni non sono costruiti in modo operativo, non vengono interiorizzate dai ragazzi e non faranno mai parte del loro bagaglio culturale. Conosciamo tutti gli effetti disastrosi di un insegnamento gesso-lavagna.

Ecco allora la necessità, e questa mostra ne è un modesto esempio, di ricorrere sempre e comunque ad attività di tipo sperimentale che investano il ragazzo direttamente con le più diverse forme di operatività e lo guidino alla elaborazione personale di definizioni e di regole.